Question

10．若x₁，x₂是关于x的方程x²-（2k+1）x+k²+1=0的两个实数根，且x₁，x₂都大于0．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，求k的值．

Answer 1

分析 1）根据判别式的意义得到△=（2k+1）²-4（k²+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2k+1，x₁•x₂=k²+1，利用x₂=2x₁，则3x₁=2k+1，2x₁²=k²+1，所以2×（$\frac{2k+1}{3}$）²=k²+1，解此方程得到
k₁=1，k₂=7，然后根据x₁，x₂都大于0确定k的值．

解答 解：（1）根据题意得△=（2k+1）²-4（k²+1）≥0，
解得k≥$\frac{3}{4}$；

（2）根据题意得x₁+x₂=2k+1，x₁•x₂=k²+1，
∵$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，
∴x₂=2x₁，
∴3x₁=2k+1，2x₁²=k²+1，
∴2×（$\frac{2k+1}{3}$）²=k²+1，
整理得k²-8k+7=0，解得k₁=1，k₂=7．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．