Question

10．如图，在Rt△ABC中，AC=BC，点D是△ABC内一点，若AC=AD，∠CAD=30°，连接BD，则∠ADB的度数为（　　）

• A． 120°
• B． 135°
• C． 150°
• D． 165°

Answer 1

分析 先根据△ABC是等腰直角三角形得：∠CAB=∠ABC=45°，作辅助线，构建全等三角形，证明△CDB≌△AED，则∠ADE=∠CBD，ED=BD，设∠CBD=x，则∠ADE=x，∠DEB=∠DBE=15+x，根据∠ABC=45°列方程可求x的值，根据三角形内角和得∠BDC=150°，最后由周角得出结论．

解答 解：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∵AC=AD，
∴AD=BC，
∵∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∠DAB=45°-30°=15°，
∴∠DCB=90°-75°=15°，
∴∠EAD=∠DCB，
在AB上取一点E，使AE=CD，连接DE，
在△CDB和△AED中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠EAD=∠DCB}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△CDB≌△AED（SAS），
∴∠ADE=∠CBD，ED=BD，
∴∠DEB=∠DBE，
设∠CBD=x，则∠ADE=x，∠DEB=∠DBE=15+x，
∵∠ABC=45°，
∴x+15+x=45，
x=15°，
∴∠DCB=∠DBC=15°，
∴∠BDC=180°-15°-15°=150°，
∴∠ADB=360°-75°-150°=135°；
故选B．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定以及三角形内角和与外角的性质，作辅助线，构建全等三角形是关键，根据三角形的角的关系依次求角的度数是突破口，并与方程相结合，使问题得以解决．