Question

3．如图，抛物线y=x²+bx+c（b、c为常数）与x轴相交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设点P为抛物线对称轴上的一个动点．
①如图①，若点P为抛物线的顶点，求△PBC的面积．
②是否存在点P使△PBC的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式，可求得b、c的值，可求得抛物线解析式；
（2）①由抛物线解析式可求得P、C的坐标，可求得直线BC解析式，设对称轴交直线BC于点E，则可求得E点坐标，可求得PE的长，则可求得△PBC的面积；②设P（1，t），则可用t表示出△PBC的面积，可得到t的方程，则可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵抛物线y=x²+bx+c（b、c为常数）与x轴相交于点A（-1，0）、B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3；
（2）①∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴P（1，4），且C（0，-3），
设直线BC解析式为y=kx+m，则有$\left\{\begin{array}{l}{3k+m=0}\\{m=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{m=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=x-3，
设对称轴交BC于点E，如图1，

则E（1，-2），
∴PE=-2-（-4）=2，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$PE•OB=$\frac{1}{2}$×3×2=3；
②设P（1，t），由①可知E（1，-2），
∴PE=|t+2|，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$OB•PE=$\frac{3}{2}$|t+2|，
∴$\frac{3}{2}$|t+2|=6，解得t=2或t=-6，
∴P点坐标为（1，2）或（1，-6），
即存在满足条件的点P，其坐标为（1，2）或（1，-6）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中用P点的坐标表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点相对不多，综合性较强，但难度不大，较易得分．