Question

（2013•通州区一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=

3

，△DCE是等边三角形，DE交AB于点F，求△BEF的周长．

Answer 1

分析：方法一：过点E作EG⊥CB，交CB的延长线于点G，利用题干条件求出EF、FB和EB长度，进而求△BEF的周长；
方法二：过点E作EH⊥CD交CD于点H，交AB于点G，利用矩形性质、勾股定理以及三角函数等知识结合题干条件求出EF、FB和EB长度，进而求△BEF的周长；
方法三：过点B作BG⊥CE，交CE于点G，利用矩形的知识、解直角三角形和三角函数等知识结合题干条件求出EF、FB和EB长度，进而求△BEF的周长．

解答：解：解法一：
∵矩形ABCD，△DCE是等边三角形，
∴∠ADF=∠ECB=30°，ED=EC=3，
在Rt△ADF中，∠A=90°，AD=

3

，
∴tan∠ADF=

AF

AD

，
tan30°=

AF

3

=

3

3

，
∴AF=1，
∴FB=AB-AF=3-1=2，FD=2，；
∴EF=ED-DF=3-2=1，；
过点E作EG⊥CB，交CB的延长线于点G；
在Rt△ECG中，∠EGC=90°，EC=3，∠ECG=30°，
∴EG=

1

2

EC=

3

2

，cos∠ECG=

GC

EC

，
cos30°=

GC

3

=

3

2

，
∴GC=

3 3

2

，
∴GB=CG-BC=

3 3

2

-

3

=

3

2

，
由勾股定理得，EB²=EG²+GB²，
∴EB=

3

（舍去负值）；
∴△BEF的周长=EF+FB+EB=3+

3

．

解法二：∵矩形ABCD，△DCE是等边三角形，
∴∠EDC=∠ECD=60°，ED=EC=3，
过点E作EH⊥CD交CD于点H，交AB于点G；
∴点H是DC的中点，点G是AB的中点，∠FEG=30°，GH=AD=

3

，
在Rt△EHD中，∠EHD=90°，ED=3，
∴sin∠EDH=

EH

ED

，
sin60°=

EH

3

=

3

2

，
∴EH=

3 3

2

，
∴EG=EH-GH=

3 3

2

-

3

=

3

2

．
在Rt△EGF中，∠EGF=90°，∠EFG=60°，
∴sin∠EFG=

EG

EF

，
sin60°=

3

2

=

3 2

EF

，
∴EF=1；
∴FG=

1

2

EF=

1

2

，
∵点G是AB的中点，AB=3，
∴GB=

1

2

AB=

3

2

，
∴FB=FG+GB=2，
由勾股定理得，EB²=EG²+GB²，
∴EB=

3

（舍去负值），
∴△BEF的周长=EF+FB+EB=3+

3

．

解法三：∵矩形ABCD，△DCE是等边三角形，
∴∠ADF=∠ECB=30°，ED=EC=3，
在Rt△ADF中，∠A=90°，AD=

3

，
∴tan∠ADF=

AF

AD

，
tan30°=

AF

3

=

3

3

，
∴AF=1，
∴FB=AB-AF=3-1=2，FD=2，
∴EF=ED-DF=3-2=1，
过点B作BG⊥CE，交CE于点G．
在Rt△BCG中，∠BGC=90°，BC=

3

，∠ECB=30°，
∴BG=

1

2

BC=

3

2

，cos∠BCG=

GC

BC

，
cos30°=

GC

3

=

3

2

，
∴GC=

3

2

，
∴GE=EC-GC=3-

3

2

=

3

2

，
由勾股定理得，EB²=EG²+GB²，或BG是线段EC的垂直平分线，
∴EB=

3

（舍去负值）或BE=BC，
∴△BEF的周长=EF+FB+EB=3+

3

．

点评：本题主要考查矩形性质、勾股定理以及解直角三角形的知识点，此题难度不大，本题的解答有三种解答方法，同学们根据自己实际情况选择自己喜欢的方法进行解答即可．