Question

3．在等腰三角形ABC中，AB=AC．
（1）如图①，AD是BC上的高线，E是AC上-点，且AE=AD．若∠BAD=30°，则∠EDC=15度．
（2）如图②，AD是BC上的高线，E是AC上一点，且AE=AD．若∠BAD=40°，则∠EDC=20度．
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？用等式表示．
（4）如图③，如果AD不是BC上的高线，AD=AE．那么∠BAD与∠EDC是否仍有上述关系？说明理由．

Answer 1

分析 （1）等腰三角形三线合一，所以∠DAE=30°，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=75°，所以∠DEC=15°；
（2）同理，易证∠ADE=70°，所以∠DEC=20°；
（3）通过（1）（2）题的结论可知，∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD）；
（4）由于AD=AE，所以∠ADE=∠AED，根据已知，易证∠BAD+∠B=2∠EDC+∠C，而B=∠C，所以∠BAD=2∠EDC．

解答 解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAD=30°，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠EDC=15°；
故答案为：15；

（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAD=40°，
∴∠BAD=∠CAD=40°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=70°，
∴∠EDC=20°；
故答案为：20；

（3）∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD）；

（4）仍成立，理由如下
∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，
∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=（∠EDC+∠C）+∠EDC
=2∠EDC+∠C
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C
∴∠BAD=2∠EDC．

点评 本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．