Question

12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F，求证：EA=EF．

Answer 1

分析 过E作EG垂直于AC，交AC于G，可得出EG∥BD故∠AEG=∠B，∠D=∠DEG．再根据E是BD的垂直平分线与AB的交点可得出∠B=∠D，根据ASA定理得出△AEG≌△FEG，进而可得出结论．

解答 证明：过E作EG垂直于AC，交AC于G，
∵∠ACB=90°，
∴EG∥BD，
∴∠AEG=∠B，∠D=∠DEG．
∵E是BD的垂直平分线与AB的交点，
∴BE=DE，
∴∠B=∠D，
∴∠AEG=∠DEG．
在△AEG与△FEG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠AEG=∠FEG\\ EG=EG\\∠AGE=∠FGE\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△FEG（ASA），
∴EA=EF．

点评 本题考查的是线段垂直平分线的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．