Question

4．如图，已知等边△ABC，点D为△ABC内一点，连接DA、DB、DC，∠ADB=120°．以CD为边向CD上方作等边△CDE，连接AE．（0°＜∠ACE＜60°）
（1）求证：△BDC≌△AEC；
（2）若DA=n²+1，DB=n²-1，DC=2n（n为大于1的整数），求∠BDC的度数；
（3）若△ADE为等腰三角形，求$\frac{{C{E^2}}}{{B{C^2}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出结论，直接用SAS得出结论；
（2）用等边三角形的性质得出DE=CD，进而判断出△ADE是直角三角形，即可得出结论；
（3）分三种情况先判断出△ADE是等边三角形，进而构造出直角三角形，用含30°的直角三角形的性质得出结论即可．

解答 解：（1）∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE=DE，∠ACB=∠DCE=∠CED=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BDC和△AEC中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△AEC（SAS）；
（2）由（1）知，DE=CD=2n，△BDC≌△AEC，
∴∠BDC=∠AEC，AE=BD=n2-1，
∵DA=n²+1，AE=n²-1，DE=2n，
∴AE²+DE²=（n²-1）²+（2n）²=（n²+1）²=DA²，
∴△ADE是直角三角形，
∴∠AED=90°，
∴∠BDC=∠AEC=∠AED+∠CED=150°．
（3）如图，
①当AD=AE时，由（1）知，△BDC≌△AEC，
∴∠CAE=∠CBD，AE=BD，
∴AD=BD，
∵∠ADB=120°，
∴∠BAD=∠ABD=30°，
∵∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠CBD=∠CAD=∠CAE=30°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形；
②当AD=DE时，∵CD=DE，
∴AD=CD，
∴∠CAD=∠DCA，
∵∠BAC=∠BCA，
∴∠BAD=∠BCD，
在△ABD和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BAD=∠BCD}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
以后同①的方法得出，△ADE是等边三角形，
③当AE=DE时，同②的方法得出，△ADE是等边三角形，
即：△ADE是等边三角形
过点D作DF⊥BC，
∴BC=2CF，在Rt△CDF中，∠DCF=30°，
∴cos30°=$\frac{CF}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{C{E}^{2}}{B{C}^{2}}=\frac{C{D}^{2}}{（2CF）^{2}}$=$\frac{1}{3}$．

点评 此题是三角形综合问题，主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出△ADE是等边三角形，是一道中考常考题．