Question

6．点O为正六边形ABCDEF的中心．
（1）如图1，若点G，H分别为边AB，EF的中点，连接GH与AD交于点P，求证：GH=PD；
（2）如图2，若点G在边AB上，点H在边EF上，点P在边CD上，且AF∥GH，BC∥GP，连接OH、OP．求证：∠HOP=2∠HGP；
（3）如图3，若点P为边CD的中点，BD交AP于点Q，正六边形ABCDEF的边长为2，则请直接写出AQ的长．

Answer 1

分析 （1）连接BE，由正六边形的性质得出BE过点O，AB=EF=AF，∠ABC=∠BCD=∠BAF=120°，OA=OA=OD，△OAB是等边三角形，∠ABO=60°，AB=OA，证出BE∥AF，同理：AD∥EF，得出四边形APHF是平行四边形，证出PH=AF=AB=OA，由梯形中位线定理得出GH∥BE∥AF，证出OP=PG，即可得出结论；
（2）连接OG、OB、OC、AD，则∠OBG=∠OCP=$\frac{1}{2}$∠ABC，由（1）得：BC∥AD，证出BG=CP，由SAS证明△OBG≌△OCP，得出OG=OP，同理：OH=OG，得出OH=OG=OP，证出点H、G、P在以O为圆心，OH为半径的圆上，再由圆周角定理即可得出结论；
（3）延长AB、DC交于点N，延长AP、ED交于点M，则△DBN是直角三角形，∠BDN=120°-90°=30°，DN=2DC=4，BN=$\frac{1}{2}$DN=2，证明△DPM∽△NPA，求出DM=$\frac{1}{3}$AN=$\frac{4}{3}$，得出EM=DE+DM=$\frac{10}{3}$，连接AE，则AE⊥ED，AE=BD=2$\sqrt{3}$，由勾股定理求出AM=$\sqrt{A{E}^{2}+E{M}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$，证明△DMQ∽△BAQ，得出$\frac{MQ}{AQ}=\frac{DM}{AB}$=$\frac{\frac{4}{3}}{2}$=$\frac{2}{3}$，即可求出AQ=$\frac{3}{5}$AM=$\frac{4\sqrt{13}}{5}$．

解答 （1）证明：连接BE，如图1所示：则BE过点O，
∵六边形ABCDEF是正六边形，点O为正六边形ABCDEF的中心．
∴AB=EF=AF，∠ABC=∠BCD=∠BAF=120°，OA=OA=OD，△OAB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，AB=OA，
∴∠BAF+∠ABO=180°，
∴BE∥AF，
同理：AD∥EF，
∴四边形APHF是平行四边形，
∴PH=AF=AB=OA，
∵点G，H分别为边AB，EF的中点，
∴GH∥BE∥AF，
∴AP=OP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$OB，PG=$\frac{1}{2}$OB，
∴OP=PG，
∵GH=PH+PG，PD=OD+OP，
∴GH=PD；

（2）证明：连接OG、OB、OC、AD，如图2所示：
则∠OBG=∠OCP=$\frac{1}{2}$∠ABC，
由（1）得：BC∥AD，
∵BC∥GP，
∴PG∥BC∥AD，
∵AB=DC，
∴BG=CP，
在△OBG和△OCP中，$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}&{\;}\\{∠OBG=∠OCP}&{\;}\\{BG=CP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OBG≌△OCP（SAS），
∴OG=OP，
同理：OH=OG，
∴OH=OG=OP，
∴点H、G、P在以O为圆心，OH为半径的圆上，
∴∠HOP=2∠HGP；

（3）解：延长AB、DC交于点N，延长AP、ED交于点M，如图3所示：
则△DBN是直角三角形，∠BDN=120°-90°=30°，DN=2DC=4，BN=$\frac{1}{2}$DN=2，
∴AN=4，
∵P是CD的中点，
∴PD=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴BD=$\sqrt{3}$BN=2$\sqrt{3}$，PN=DN-DP=3，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB∥DE，
∴△DPM∽△NPA，
∴$\frac{PM}{AP}=\frac{DM}{AN}=\frac{PD}{PN}$=$\frac{1}{3}$，
∴DM=$\frac{1}{3}$AN=$\frac{4}{3}$，
∴EM=DE+DM=$\frac{10}{3}$，
连接AE，则AE⊥ED，AE=BD=2$\sqrt{3}$，
∴AM=$\sqrt{A{E}^{2}+E{M}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（\frac{10}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$，
∵DE∥AB，
∴△DMQ∽△BAQ，
∴$\frac{MQ}{AQ}=\frac{DM}{AB}$=$\frac{\frac{4}{3}}{2}$=$\frac{2}{3}$，
∴AQ=$\frac{3}{5}$AM=$\frac{3}{5}$×$\frac{4\sqrt{13}}{3}$=$\frac{4\sqrt{13}}{5}$．

点评 本题是综合题目，考查了正六边形的性质、平行四边形的判定与性质、梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．