Question

16．如图，在直角三角形ABC中，∠A=90°，点D在斜边BC上，点E，F分别在直角边AB，AC上，且BD=5，CD=9，四边形AEDF是正方形，则阴影部分的面积为$\frac{45}{2}$．

Answer 1

分析 设正方形AEDF的边长为a，由四边形AEDF为正方形，∠BAC=90°，得DF∥AB，得到△CDF∽△DBE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得CF与BF的值，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得到a²，再利用三角形的面积公式得S_阴影部分=$\frac{1}{2}$•CF•DF+$\frac{1}{2}$•DE•BE，代入计算即可得到阴影部分的面积．

解答 解：设正方形AEDF的边长为a，
∵四边形AEDF为正方形，∠BAC=90°，
∴DF∥AB，
∴∠CDF=∠B，
∴△CDF∽△DBE，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{DE}{CF}=\frac{BE}{DF}$，
∴$\frac{5}{9}=\frac{a}{CF}=\frac{BE}{a}$，
∴CF=$\frac{9a}{5}$，BE=$\frac{5a}{9}$，
在Rt△BDE中，BD²=BE²+DE²，即5²=${（\frac{5a}{9}）}^{2}$+a²，
∴a²=$\frac{2025}{106}$，
∴∴S_阴影部分=$\frac{1}{2}$•CF•DF+$\frac{1}{2}$•DE•BE=$\frac{1}{2}$•$\frac{{9a}^{2}}{5}$$+\frac{1}{2}$•$\frac{{5a}^{2}}{9}$=$\frac{45}{2}$，
故答案为：$\frac{45}{2}$．

点评 本题考查了三角形相似的判定与性质，勾股定理以及三角形的面积公式．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．