Question

如图，在梯形PMNQ中，PQ∥MN，对角线PN和MQ相交于点O，并把梯形分成四部分，记这四部分的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄．试判断S₁+S₂和S₃+S₄的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：设PQ=m，MN=n，根据同底等高判断△PMN和△QMN的面积相等，然后根据三角形的相似比，把s₂，s₃，s₄都用s₁以及m，n表示出来，然后用（S₁+s₂）-（S₃+s₄）化简结果后看谁大谁小．

解答：解：S₁+S₂＞S₃+S₄．
证明：设PQ=m，MN=n，∵△PMN和△QMN同底等高，
∴S_△PMN=S_△QMN，
∴S₃+S₂=S₄+S₂，即：S₃=S₄．
∵△POQ∽△NOM，
∴S₁：S₂=（OQ：OM）²=m²：n²，∴S2=

n2

m2

•S1．
∵S₁：S₃=OQ：OM=m：n，∴S3=

n

m

•S1．
∴(S1+S2)-(S3+S4)=S1+

n2

m2

•S1-2•

n

m

•S1=S1(1+

n2

m2

-2•

n

m

)=S1(1-

n

m

)2．
∵(1-

n

m

)2＞0，∴S₁+S₂＞S₃+S₄．

点评：本题考查相似三角形的判定和性质以及三角形面积的等底等高或者等高等情况的特性，本题最后做一个差的运算来判断大小．