Question

若x=

2001

+

2003

是方程x⁴+bx²+c=0的根，且b、c是整数，则b+c=

 

．

Answer 1

考点：高次方程

专题：

分析：先将x²看做未知数，利用一元二次方程求根公式得出（

2001

+

2003

）²=

-b+ b2-4c

2

，再根据b、c是整数，得出b的值，进而得出c的值，即可求出b+c的值．

解答：解：x⁴+bx²+c=0的根为：x²=

-b± b2-4c

2

，
∵x=

2001

+

2003

是方程x⁴+bx²+c=0的根，
∵（

2001

+

2003

）²=2001+2003+2

2001×2003

，（根据式子的形式为常数加二次根式），
∴（

2001

+

2003

）²=

-b+ b2-4c

2

，（不可能等于

-b- b2-4c

2

），
∴2001+2003+2

2001×2003

=

-b+ b2-4c

2

，
4004+2

2001×2003

=

-b+ b2-4c

2

，
8008+4

2001×2003

=-b+

b2-4c

，
∵b、c是整数，
∴8008=-b，
∴b=-8008，
∴4

2001×2003

=

b2-4c

，
∴16×2001×2003=b²-4c，
∴16×2001×2003=（-8008）²-4c，
解得：c=4，
∴b+c=-8008+4=-8004，
故答案为：-8004．

点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根与求根公式的应用，在解答此题时，利用了一元二次方程求根公式得出（

2001

+

2003

）²=

-b+ b2-4c

2

是解题关键．