Question

12．如图所示，菱形ABCD的周长为32cm，菱形的相邻两内角之比为1：2，求菱形的面积．

Answer 1

分析 有菱形的性质得出AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，AD∥BC，由已知条件得出∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，AB=8cm，由含30°角的直角三角形的性质得出OA=$\frac{1}{2}$AB，求出AC、BD，菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD，即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，AD∥BC，
∴∠AOB=90°，∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠ABC：∠BAD=1：2，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$AB，
∵菱形ABCD的周长为32cm，
∴AB=BC=CD=DA=8cm，
∴OA=4cm，
∴AC=2OA=8cm，OB=$\sqrt{3}$OA=4$\sqrt{3}$cm，
∴BD=2OB=8$\sqrt{3}$cm，
∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×8×8$\sqrt{3}$=32$\sqrt{3}$（cm²）．

点评 本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角函数、菱形面积的计算方法；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．