Question

已知如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B，化简：

(a+c)2

+

(c-b)2

的结果为：①c，②b，③b-a，④a-b+2c，其中正确的有

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系,二次根式的性质与化简

专题：

分析：先根据图象以及抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）确定a＜0，b＞0，c＞0和a-b+c=0，再根据a-b+c=0变形得到a+c=b＞0，c-b=-a＞0，化简

(a+c)2

+

(c-b)2

=a-b+2c，再利用a-b+c=0变形a-b=-c和c=b-a分别代入

(a+c)2

+

(c-b)2

=a-b+2c中即可确定①③④正确，②错误．

解答：解：∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）
∴a-b+c=0
∵图象开口向下，对称轴x=-

b

2a

＞0，抛物线与y轴交点在正半轴上
∴a＜0  b＞0  c＞0
∵a+c=b＞0  c-b=-a＞0
∴

(a+c)2

+

(c-b)2

=|a+c|+|c-b|=a+c+c-b=a-b+2c
故④正确
∵a-b=-c
∴

(a+c)2

+

(c-b)2

=a-b+2c=-c+2c=c
故①正确
∵c=b-a
∴

(a+c)2

+

(c-b)2

=a-b+2c=a-b+2（b-a）=b-a≠b
故③正确，②错误．
故答案为：①③④

点评：根据抛物线图象一般可以确定a，b，c的正负，根据抛物线上点的坐标可以确定出一个关于a，b，c的等量关系．通过这个等式的变形来化简题目中给出的式子．