Question

2．如图①，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AB=AC，AD=AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图②，将BD、CE分别延长至M、N，使DM=$\frac{1}{2}$BD，EN=$\frac{1}{2}$CE，得到图③，请解答下列问题：
（1）在图②中，BD与CE的数量关系是BD=CE；
（2）在图③中，猜想AM与AN的数量关系，∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；
（2）根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=$\frac{1}{2}$BD，EN=$\frac{1}{2}$CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．

解答 解：（1）BD=CE，故答案为：BD=CE；
（2）AM=AN，∠MAN=∠BAC，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠CAE=∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠CAE=∠BAD}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴∠ACE=∠ABD，
∵DM=$\frac{1}{2}$BD，EN=$\frac{1}{2}$CE，
∴BM=CN，
在△ABM和△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=CN}\\{∠ACN=∠ABM}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM=AN，
∴∠BAM=∠CAN，即∠MAN=∠BAC．

点评 本题考查三角形全等的判定方法和性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目．