Question

9．如图，E是正方形ABCD上一点，△ABF由△ADE旋转所得
（1）旋转中心是A，旋转角等于90°
（2）点G在BC上，若∠EAG=45°，AD=8，DE=6，求CG的长．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的定义，直接得出旋转的中心和旋转的角度；
（2）根据勾股定理得到AE=10，推出AG是∠EAF的平分线，于是得到AG是线段EF的垂直平分线，求得GE=GF，根据等腰直角三角形的性质得到EF=$\sqrt{2}$AE=10$\sqrt{2}$，根据勾股定理得到CF=$\sqrt{E{F}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{（10\sqrt{2}）^{2}-（8-6）^{2}}$=14，推出DE+GB=BF+BG=GF．然后根据勾股定理即刻得到结论．

解答 解：（1）旋转的中心是点A，旋转的角度是90°，
故答案为：A，90；

（2）∵AD=8，DE=6，
∴AE=10，
∵∠GAE=45°，∠EAF=90°，
∴AG是∠EAF的平分线，
∴AG是线段EF的垂直平分线，
∴GE=GF，
又∵AF=AE，
∴EF=$\sqrt{2}$AE=10$\sqrt{2}$，
∴CF=$\sqrt{E{F}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{（10\sqrt{2}）^{2}-（8-6）^{2}}$=14，
∵DE=BF，
∴DE+GB=BF+BG=GF．
∵CG²+CE²=EG²，即CG²+2²=（14-CG）²，
∴CG=$\frac{18}{7}$．

点评 此题主要考查了旋转的性质以及勾股定理和线段垂直平分线的性质等知识，熟练利用旋转的性质得出△ADE≌△ABF是解题关键．