Question

矩形ABCD中，点P为AC上一点，PB⊥PF交DC的延长线于F点，交BC于E点，且

CF

BC

=

PE

PB

，求证：PA=CD．

Answer 1

分析：由矩形ABCD中，PB⊥PF，易证得△PBE∽△CFE，继而可得△PEC∽△BEF，即可证得∠CPF=∠CBF，又由

CF

BC

=

PE

PB

，证得△PBE∽△CBF，可得∠PBC=∠CBF，即可得∠PBC=∠CPF，继而证得∠ABP=∠APB，即可得PA=AB，则可证得结论．

解答：证明：∵四边形ABCD是矩形，PB⊥PF，
∴∠ABC=∠BCF=∠BPF=90°，AB=CD，
∵∠PEB=∠CEF，
∴△PBE∽△CFE，
∴∠PBE=∠CFE，

PE

BE

=

EC

EF

，
∵∠PEC=∠BEF，
∴△PEC∽△BEF，
∴∠CPF=∠CBF，
∵

CF

BC

=

PE

PB

，
∴△PBE∽△CBF，
∴∠PBC=∠CBF，
∴∠PBC=∠CPF，
∵∠ABP+∠PBC=90°，∠APB+∠CPF=90°，
∴∠ABP=∠APB，
∴PA=AB，
∴PA=CD．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及等腰三角形的判定．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．