Question

19．已知，如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的解析式；
（3）求△MCB的面积．

Answer 1

分析 （1）由A、C、（1，8）三点在抛物线上，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由B、C两点的坐标求得直线BC的解析式；
（3）过点M作MN∥y轴交BC轴于点N，则△MCB的面积=△MCN的面积+△MNB的面积=$\frac{1}{2}$MN•OB．

解答 解：（1）∵A（-1，0），C（0，5），（1，8）三点在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=5}\\{a+b+c=8}\end{array}\right.$，
解方程组，得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
故抛物线的解析式为y=-x²+4x+5；
（2）∵y=-x²+4x+5=-（x-5）（x+1）=-（x-2）²+9，
∴M（2，9），B（5，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$
则直线BC的解析式为：y=-x+5；
（3）过点M作MN∥y轴交BC轴于点N，则△MCB的面积=△MCN的面积+△MNB的面积=$\frac{1}{2}$MN•OB．
当x=2时，y=-2+5=3，则N（2，3），
则MN=9-3=6，
则S_△MCB=$\frac{1}{2}$×6×5=15．

点评 本题考查了解二次函数综合题的方法：先运用待定系数法求出二次函数的解析式，确定各特殊点的坐标，得到有关线段的长，求出三角形的面积，再利用已知条件、函数的性质等知识去确定其它点的坐标．