Question

6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=$\sqrt{2}$，BE=2$\sqrt{2}$．
（1）求CD的长：
（2）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）过点D作DH⊥AC，根据∠CED=45°可得出△DEH是等腰直角三角形，由勾股定理可得出EH=DH=1，再根据直角三角形的性质可得出DC的长；
（2）在Rt△DHC中，根据勾股定理求出HC的长，再由直角三角形的性质得出AB=AE=2，故可得出AC的长，根据S_{四边形ABCD}=S_△BAC+S_△DAC即可得出结论．

解答 解：（1）过点D作DH⊥AC，
∵∠CED=45°，
∴∠EDH=45°，
∴∠HED=∠EDH，
∴EH=DH，
∵EH²+DH²=DE²，DE=$\sqrt{2}$，
∴EH²=1，
∴EH=DH=1，
又∵∠DCE=30°，∠DHC=90°，
∴DC=2；

（2）∵在Rt△DHC中，DH²+HC²=DC²，
∴1²+HC²=2²，
∴HC=$\sqrt{3}$，
∵∠AEB=∠CED=45°，∠BAC=90°，BE=2$\sqrt{2}$，
∴AB=AE=2，
∴AC=2+1+$\sqrt{3}$=3+$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_△BAC+S_△DAC
=$\frac{1}{2}$×2×（3+$\sqrt{3}$）+$\frac{1}{2}$×1×（3+$\sqrt{3}$）
=$\frac{{3\sqrt{3}+9}}{2}$．

点评 本题考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．