Question

如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，一抛物线过点B、C和D，点D与点B关于直线y=x对称．
（1）求点D的坐标．
（2）求直线BD和抛物线的解析式．
（3）若直线BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题,待定系数法求一次函数解析式,待定系数法求二次函数解析式,轴对称的性质,相似三角形的性质

专题：综合题

分析：（1）根据直线上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，然后根据轴对称的性质可求出点C、D的坐标；
（2）只需运用待定系数法就可求出直线BD和抛物线的解析式；
（3）易求出点M的坐标，从而可证到△MCD是等腰直角三角形，进而可得到与△MCD相似的△NBD也是等腰直角三角形，然后只需分三种情况（①∠NBD=90°，②∠BDN=90°，③∠BND=90°）讨论，就可解决问题．

解答：解：（1）∵直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（-1，0）、点B（0，3）．
∵△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，
∴点C（1，0）．
∵点D与点B关于直线y=x对称，
∴点D（3，0）；

（2）设直线BD的解析式为y=mx+n，
则有

n=3 3m+n=0

，
解得：

m=-1 n=3

，
∴直线BD的解析式为y=-x+3．
设过点B、C和D的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
则有

c=3 a+b+c=0 9a+3b+c=0

，
解得

a=1 b=-4 c=3

，
∴过点B、C和D的抛物线的解析式为y=x²-4x+3；

（3）∵抛物线的对称轴为x=-

b

2a

=-

-4

2×1

=2，
∴x_M=2．
∵点M在直线y=-x+3上，
∴y_M=-2+3=1，
∴点M的坐标为（2，1），
∴OH=2，MH=1，
∴CH=DH=MH=1，
∴∠MCH=∠HMC=∠HMD=∠HDM=45°，
∴∠CMD=90°，
∴△CMD是等腰直角三角形．
∵△NBD与△CMD相似，
∴△NBD是等腰直角三角形．
①当∠NBD=90°时，
∵BN=BD，BO⊥DN，
∴ON=OD=3，
∴点N₁（-3，0）；
②当∠BDN=90°时，
∵DB=DN，DO⊥BN，
∴ON=OB=3，
∴点N₂（O，-3）；
③当∠BND=90°时，
此时点N与点O重合，
∴点N₃（O，0），
∴符合条件的点N的坐标为（-3，0）或（0，-3）或（0，0）．

点评：本题主要考查了轴对称的性质、运用待定系数法求直线和抛物线的解析式、相似三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直线上点的坐标特征等知识，证到△NBD是等腰直角三角形并进行分类讨论是解决第（3）小题的关键．