题目内容
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、C两点的坐标分别为A（0，m）、C（n，0），B（-5，0），且（n-3）2+
=0，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；
（3）当P在线段BO上运动时，是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标并求t的值；若不存在，请说明理由．
| 3m-12 |
（1）求A、C两点的坐标；
（2）连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；
（3）当P在线段BO上运动时，是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标并求t的值；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）根据偶次方和算术平方根的非负性得出n-3=0，3m-12=0，求出即可；
（2）分为三种情况：当0≤t＜
时，P在线段OB上，②当t=
时，P和O重合，③当t＞
时，P在射线OC上，求出OP和OA，根据三角形的面积公式求出即可；
（3）分为三种情况：①∠PAC为顶角时，找出腰长关系便可解；②∠ACP为顶角时，找出腰长关系便可解；③∠APC为顶角时，根据勾股定理可求得．
（2）分为三种情况：当0≤t＜
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
（3）分为三种情况：①∠PAC为顶角时，找出腰长关系便可解；②∠ACP为顶角时，找出腰长关系便可解；③∠APC为顶角时，根据勾股定理可求得．
解答：解：（1）∵(n-3)2+
=0，
∴n-3=0，3m-12=0，
n=3，m=4，
∴A的坐标是（0，4），C的坐标是（3，0）；
（2）∵B（-5，0），
∴OB=5，
①当0≤t＜
时，P在线段OB上，如图1，
∵OP=5-2t，OA=4，
∴△POA的面积S=
×OP×AP=
×（5-2t）×4=10-4t；
②当t=
时，P和O重合，此时△APO不存在，即S=0；
③当t＞
时，P在射线OC上，如备用图2，
∵OP=2t-5，OA=4，
∴△POA的面积S=
×OP×AP=
×（2t-5）×4=4t-10；
（3）P在线段BO上运动使△PAC是等腰三角形，分三种情况，
①∠PAC为顶角时，即AP=AC，
∴AO为△PAC中垂线，
∴PO=CO=3，
∴P点坐标为（-3，0），
∴t=
=1s；
②∠ACP为顶角时，AC=CP
根据勾股定理可得，AC=
=5，
∴PO=2，
∴P点坐标为（-2，0），
∴t=
=1.5s；
③∠APC为顶角时，AP=PC，设PA=a，
根据勾股定理，在Rt△PAO中，x2=（x-3）2+42
解得x=
，
∴PO=
-3=
，
∴P点坐标为（-
，0），
∴t=
=
s；
综上，存在一点P（-3，0）、（-2，0）、（-
，0）相对应的时间分别是t=1、1.5、
，使△PAC是等腰三角形．
| 3m-12 |
∴n-3=0，3m-12=0，
n=3，m=4，
∴A的坐标是（0，4），C的坐标是（3，0）；
（2）∵B（-5，0），
∴OB=5，
①当0≤t＜
| 5 |
| 2 |
∵OP=5-2t，OA=4，
∴△POA的面积S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
②当t=
| 5 |
| 2 |
③当t＞
| 5 |
| 2 |
∵OP=2t-5，OA=4，
∴△POA的面积S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）P在线段BO上运动使△PAC是等腰三角形，分三种情况，
①∠PAC为顶角时，即AP=AC，
∴AO为△PAC中垂线，
∴PO=CO=3，
∴P点坐标为（-3，0），
∴t=
| BP |
| 2 |
②∠ACP为顶角时，AC=CP
根据勾股定理可得，AC=
| OC2+OA2 |
∴PO=2，
∴P点坐标为（-2，0），
∴t=
| BP |
| 2 |
③∠APC为顶角时，AP=PC，设PA=a，
根据勾股定理，在Rt△PAO中，x2=（x-3）2+42
解得x=
| 25 |
| 6 |
∴PO=
| 25 |
| 6 |
| 7 |
| 6 |
∴P点坐标为（-
| 7 |
| 6 |
∴t=
| BP |
| 2 |
| 23 |
| 12 |
综上，存在一点P（-3，0）、（-2，0）、（-
| 7 |
| 6 |
| 23 |
| 12 |
点评：本题考查了一次函数综合题，涉及偶次方和算术平方根的非负性，三角形的面积，坐标与图形性质、勾股定理等知识点的综合运用，解题的关键是（2）（3）需要求出符合条件的所有情况，是一道比较容易出错的题目．
练习册系列答案
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