如果一个三角形的三边a.b.c能满足a2+b2=nc2.那么这个三角形叫做“n阶三角形．如三边分别为1.2.$\sqrt{5}$的三角形满足12+22=1×2.所以它是1阶三角形.但同时也满足2+22=9×12.所以它也是9阶三角形．显然.等边三角形是2阶三角形.但2阶三角形不一定是等边三角形．(1)在我们熟知的三角形中.何种三角形一定是3� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．如果一个三角形的三边a，b，c能满足a²+b²=nc²（n为正整数），那么这个三角形叫做“n阶三角形”．如三边分别为1、2、$\sqrt{5}$的三角形满足1²+2²=1×（$\sqrt{5}}$）²，所以它是1阶三角形，但同时也满足（$\sqrt{5}}$）²+2²=9×1²，所以它也是9阶三角形．显然，等边三角形是2阶三角形，但2阶三角形不一定是等边三角形．

（1）在我们熟知的三角形中，何种三角形一定是3阶三角形？
（2）若三边分别是a，b，c（a＜b＜c）的直角三角形是一个2阶三角形，求a：b：c．
（3）如图1，直角△ABC是2阶三角形，AC＜BC＜AB，三条中线BD、AE、CF所构成的三角形是何种三角形？四位同学作了猜想：
A同学：是2阶三角形但不是直角三角形；
B同学：是直角三角形但不是2阶三角形；
C同学：既是2阶三角形又是直角三角形；
D同学：既不是2阶三角形也不是直角三角形．
请你判断哪位同学猜想正确，并证明你的判断．
（4）如图2，矩形OACB中，O为坐标原点，A在y轴上，B在x轴上，C点坐标是（2，1），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象与直线AC、直线BC交于点E、D，若△ODE是5阶三角形，直接写出所有可能的k的值．

分析（1）等腰直角三角形为3阶三角形，根据题中的新定义验证即可；
（2）根据题中的新定义列出关系式，再利用勾股定理列出关系式，即可确定出a，b，c的比值；
（3）C同学猜想正确，由直角△ABC是2阶三角形，根据（2）中的结论得出AC，BC，AB之比，设出三边，表示出AE，BD，CF，利用题中的新定义判断即可；
（4）根据图形设出E与D坐标，利用勾股定理表示出OE²，OD²以及ED²，由△ODE是5阶三角形，分类讨论列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值

解答解：（1）等腰直角三角形一定是3阶三角形，
理由为：设等腰直角三角形两直角边为a，a，
根据勾股定理得：斜边为$\sqrt{2}$a，
则有a²+（$\sqrt{2}$a）²=3a²，即等腰直角三角形一定是3阶三角形；
（2）∵△ABC为一个2阶直角三角形，
∴c²=a²+b²，且c²+a²=2b²，
两式联立得：2a²+b²=2b²，
整理得：b=$\sqrt{2}$a，c=$\sqrt{3}$a，
则a：b：c=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$；
（3）C同学猜想正确，

证明如下：如图，∵△ABC为2阶直角三角形，
∴AC：BC：AB=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$，
设BC=2$\sqrt{2}$，AC=2，AB=2$\sqrt{3}$，
∵AE，BD，CF是Rt△ABC的三条中线，
∴AE²=6，BD²=9，CF²=3，
∴BD²+CF²=2AE²，AE²+CF²=BD²，
∴BD，AE，CF所构成的三角形既是直角三角形，又是2阶三角形；
（4）根据题意设E（k，1），D（2，$\frac{k}{2}$），
则AE=k，EC=2-k，BD=$\frac{k}{2}$，CD=1-$\frac{k}{2}$，OA=1，OB=2，
根据勾股定理得：OE²=1+k²，OD²=4+$\frac{{k}^{2}}{4}$，ED²=（2-k）²+（1-$\frac{k}{2}$）²，
由△ODE是5阶三角形，分三种情况考虑：
当OE²+OD²=5ED²时，即1+k²+4+$\frac{{k}^{2}}{4}$=5[（2-k）²+（1-$\frac{k}{2}$）²]，
整理得：k²-5k+4=0，即（k-1）（k-4）=0，
解得：k=1或k=4；
当OE²+ED²=5OD²时，（2-k）²+（1-$\frac{k}{2}$）²+1+k²=5（4+$\frac{{k}^{2}}{4}$），
整理得：k²-5k-14=0，即（k-7）（k+2）=0，
解得：k=7或k=-2（舍去）；
当OD²+ED²=5OE²时，4+$\frac{{k}^{2}}{4}$+（2-k）²+（1-$\frac{k}{2}$）²=5（1+k²），
整理得：7k2+10k-8=0，即（7k-4）（k+2）=0，
解得：k=$\frac{4}{7}$或k=-2（舍去），
综上，满足题意k的值为1，4，7，$\frac{4}{7}$．