Question

已知：如图13m、n是方程x²-6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=-x²+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．
①求这个抛物线的解析式．
②设①中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（注：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为）

Answer 1

解：（1）解方程x²-6x+5=0，
得x₁=5，x₂=1，
由m＜n，有m=1，n=5，
所以点A、B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．
将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=-x²+bx+c．
得：，
解这个方程组，得：
；
所以，抛物线的解析式为y=-x²-4x+5；

（2）由y=-x²-4x+5，令y=0，得-x²-4x+5=0，
解这个方程，得x₁=-5，x₂=1；
所以C点的坐标为（-5，0）．由顶点坐标公式计算，得点D（-2，9）．
过D作x轴的垂线交x轴于M．
则，
，
，
所以，．
分析：（1）利用解方程x²-6x+5=0，得出m，n的值，进而求出A，B两点坐标，再代入解析式求出即可；
（2）根据过D作x轴的垂线交x轴于M，再求出△DMC，△BOC，梯形MDBO的面积即可得出答案．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求二次函数解析式和图形面积求法，根据已知得出S_△BCD=S_梯形MDBO+S_DMC△-S_△BOC是解题关键．