Question

10．某商场经营某种文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过28元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为20元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据利润=（销售单价-进价）×销售量，列出函数关系式即可；
（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；
（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较．

解答 解：（1）由题意得，销售量=250-10（x-25）=-10x+500，
则w=（x-20）（-10x+500）
=-10x²+700x-10000；

（2）w=-10x²+700x-10000=-10（x-35）²+2250．
∵-10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x=35时，w_最大=2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；

（3）A方案利润高．理由如下：
A方案中：20＜x≤28，
故当x=30时，w有最大值，
此时w_A=1760；
B方案中：$\left\{\begin{array}{l}{-10x+500≥10}\\{x-20≥20}\end{array}\right.$，
故x的取值范围为：40≤x≤49，
∵函数w=-10（x-35）²+2250，对称轴为直线x=35，
∴当x=40时，w有最大值，
此时w_B=2000，
∵w_A＜w_B，
∴B方案利润更高．

点评 本题考查了二次函数的应用，属于销售利润问题；要明确销售利润=每件的利润×销售的数量，解这类题的一般步骤是：①根据题意列出函数表达式，求出取值范围；②在自变量的取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值．