Question

已知直线AB过x轴上一点A（-2，0），且与抛物线y=ax²交于B、C两点，C（2，-4）．
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点D，使得S_△AOD：S_△BOC=2，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征

专题：计算题

分析：（1）利用待定系数法可求得直线AB的解析式为y=-x-2；然后把C点坐标代入y=ax²可计算出a的值，从而得到抛物线解析式；
（2）先解方程组

y=-x2 y=-x-2

得B点坐标（-1，-1），再确定E点坐标（0，-2），接着计算S_△OBC=S_△OBE+S_△OCE=3，所以S_△AOD=6，然后设D点坐标为（t，-t²），根据三角形面积公式得

1

2

•2•|-t²|=6，解方程得到t的值，则可确定D点坐标．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（-2，0），C（2，-4）代入得

-2k+b=0 2k+b=-4

，
解得

a=-1 b=-2

．
所以直线AB的解析式为y=-x-2；
把C（2，-4）代入y=ax²得4a=-4，
解得a=-1．
所以抛物线解析式为y=-x²；
（2）存在．
解方程组

y=-x2 y=-x-2

得

x=-1 y=-1

或

x=2 y=-4

，则B点坐标为（-1，-1），
当x=0时，-x-2=0，解得x=-2，则E点坐标为（0，-2），
所以S_△OBC=S_△OBE+S_△OCE=

1

2

×2×1+

1

2

×2×2=3，
而S_△AOD：S_△BOC=2，
所以S_△AOD=6，
设D点坐标为（t，-t²），
所以

1

2

•2•|-t²|=6，解得t=

6

或-

6

，
所以D点坐标为（

6

，-6）或（-

6

，-6）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．