题目内容

13．某班为了从甲、乙两位同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评，A、B、C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评．结果如表所示：
表1 演讲答辩得分表（单位：分）
ABCDE
甲9092949588
乙8986879491
表2　 民主测评票数统计表（单位：张）
“好”票数“较好”票数“一般”票数
甲4073
乙4244
规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分=“好”票数×2分+“较好”票数×1分+“一般”票数×0分；综合得分=演讲答辩得分×（1-a）+民主测评得分×a（0.5≤a≤0.8）；
（1）当a=0.6时，甲的综合得分是多少？
（2）如果以综合得分来确定班长，试问：甲、乙两位同学哪一位当选为班长？并说明理由．

分析 （1）由题意可知：分别计算出甲的演讲答辩得分以及甲的民主测评得分，再将a=0.6代入公式计算可以求得甲的综合得分；
（2）同（1）一样先计算出乙的演讲答辩得分以及乙的民主测评得分，得出乙的综合得分，再与甲的综合得分比较，即可得出两位同学哪一位当选为班长．

解答 解：（1）甲的演讲答辩得分$\frac{90+92+94}{3}$=92（分），
甲的民主测评得分=40×2+7×1+3×0=87（分），
当a=0.6时，甲的综合得分=92×（1-0.6）+87×0.6=36.8+52.2=89（分）；
答：当a=0.6时，甲的综合得分是89分；

（2）∵乙的演讲答辩得分=$\frac{89+87+91}{3}$=89（分），
乙的民主测评得分=42×2+4×1+4×0=88（分），
∴乙的综合得分为：89（1-a）+88a，甲的综合得分为：92（1-a）+87a，
当92（1-a）+87a＞89（1-a）+88a时，即有a＜$\frac{3}{4}$，
又0.5≤a≤0.8，
∴0.5≤a＜0.75时，甲的综合得分高，甲应当选为班长；
当92（1-a）+87a＜89（1-a）+88a时，即有a＞$\frac{3}{4}$，
又0.5≤a≤0.8，
∴0.75＜a≤0.8时，乙的综合得分高，乙应当选为班长．

点评 本题考查的是加权平均数的求法．同时还考查了解不等式，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键．

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