Question

6．利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性
（1）根据图1写出一个代数恒等式；
（2）恒等式：（2a+b）（a+b）=2a²+3ab+b²，也可以用图2面积表示，请用图形面积说明（2a+b）（a+b）=2a²+3ab+b²
（3）已知正数a、b、c和m、n、l满足a+m=b+n=c+l=k，试构造边长为k的正方形，利用面积来说明al+bm+cn＜k²．

Answer 1

分析 （1）利用面积分割法，各部分用代数式表示即可；
（2）利用图2的2种面积表示方法即可求解；
（3）利用面积分割法，可构造正方形，使其边长等于a+m=b+n=c+l=k（注意a≠b≠c，m≠n≠l），并且正方形里有边长是a、l；b、m；c、n的长方形，通过画成的图可发现，al+bm+cn＜k²．

解答 解：（1）由图可得，4ab=（a+b）²-（a-b）²；
（2）∵图2的面积为（2a+b）（a+b）或2a²+3ab+b²，
∴（2a+b）（a+b）=2a²+3ab+b²；，
（3）构造一个边长为k的正方形，如图所示：显然a+m=b+n=c+l=k，

根据图形可知，正方形内部3个矩形的面积和小于正方形的面积，
故al+bm+cn＜k²．

点评 本题主要考查完全平方公式的几何背景及公式间的相互转化，利用几何图形推导代数恒等式，要注意几何图形整体面积与各部分面积的关系．