Question

20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠BAD=60°，OB=3，动点M和N分别从A、C同时出发，点M沿线段AB向终点B运动，点N沿折线C-D-A向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求菱形ABCD的面积S；
（2）若点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒2个单位，当点N运动到与直线AC距离为1.8时，t=1.8或4.2（直接填空）；
（3）若点M的速度为每秒1单位，点N的速度为每秒3个单位，在平面内有一点E，使以A、M、N、E为顶点的四边形为菱形，则线段AE的长为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或3或$\frac{6\sqrt{39}}{7}$（直接填空）．

Answer 1

分析 （1）根据菱形面积为对角线之积的一半即可得到结论；
（2）当N在线段DC上时，过N作NE⊥AC于E，根据相似三角形的性质列比例式得到t=1.8，当N在线段DA上时，求得t≤6，过N作NE⊥AC于E，根据相似三角形的性质列比例式得到t=4.2；
（3）分两大类情况，第一类以AM为边，这种情况可以画两种菱形；第二类以AM为对角线，只有一种．因此共三种情况，分别计算．

解答 解：（1）∵菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠BAD=60°，OB=3，
∴BD=6，AC⊥BD，∠DAC=30°，
∴AD=6，
∴DO=$\sqrt{A{D}^{2}-D{O}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴BD=6$\sqrt{3}$，
菱形ABCD的面积为$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×6=18$\sqrt{3}$；

（2）当N在线段DC上时，如图2-1，
过N作NE⊥AC于E，
则NC=2t，NE=1.8，△CNE∽△CDO，
∴$\frac{CN}{CD}=\frac{NE}{DO}$，
∴$\frac{2t}{6}=\frac{1.8}{3}$，
解得：t=1.8，
当N在线段DA上时，如图2-2，
∵2t≤CD+DA=12，
∴t≤6，
过N作NE⊥AC于E，
则NA=12-2t，NE=1.8，△ANE∽△ADO，
∴$\frac{AN}{AD}=\frac{NE}{DO}$，
∴$\frac{12-2t}{6}=\frac{1.8}{3}$，
解得：t=4.2，
故答案为：1.8或4.2；

（3）①如图3-1，四边形AMEN为菱形，
∴AM=t，AN=AM=t=6-（3t-6），
∴AN=AM=3，
∴AE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
②如图3-2，四边形AENM为菱形，EM交AN于点P，
∴AE=AM=t，
∴AN=2AP=12-3t，
∵AM=2AP=12-3t=t，
∴AE=AM=3；
③如图3-3，四边形AEMN为菱形，EN交AM于点T，作BS垂直CD于S，
则AT=MT=$\frac{t}{2}$，
∵BS=3$\sqrt{3}$，
∴NT=3$\sqrt{3}$，
∵CS=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴BT=SN=3t-3=6-$\frac{t}{2}$，
∴t=$\frac{18}{7}$
∴AT=$\frac{9}{7}$，
∴AE=AN=$\sqrt{A{T}^{2}+N{T}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{39}}{7}$，
综上所述，线段AE的长为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或3或$\frac{6\sqrt{39}}{7}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或3或$\frac{6\sqrt{39}}{7}$．

点评 本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、面积计算，分类讨论等重要知识点和技能，综合性和技巧性很强，计算量也较大，对学生的能力要求较高，是一道经典压轴题．