Question

3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，双曲线y=$\frac{k}{x}$ 在第一象限经过点D．
（1）求D点的坐标及双曲线表示的函数解析式．
（2）将正方形ABCD沿x轴向左平移1个单位长度时，点C的对应点C'恰好落在（1）中的双曲线上．

Answer 1

分析 （1）首先过点D作DE⊥x轴于点E，根据已知得出AO，BO的长度，进而得出△AOB≌△DEA，求出D点坐标，进而得出解析式；
（2）首先过点C作CF⊥y轴，利用△AOB≌△DEA，同理可得出：△AOB≌△BFC，即可得出C点纵坐标，如果点在图象上，利用纵坐标求出横坐标即可．

解答 解：（1）过点D作DE⊥x轴于点E．
∵直线y=-2x+2与x轴，y轴相交于点A．B，
∴当x=0时，y=2，即OB=2．
当y=0时，x=1，即OA=1．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD．
∴∠BAO+∠DAE=90°．
∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠BAO=∠ADE，
∵∠AOB=∠DEA=90°，
在△AOB和△DEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠DEA=90°}\\{∠BAO=∠ADE}\\{AB=DA}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△DEA（AAS），
∴DE=AO=1，AE=BO=2，
∴OE=3，DE=1．
∴点D的坐标为（3，1）
把（3，1）代入y=$\frac{k}{x}$中，得k=3．
∴该函数解析式为：y=$\frac{3}{x}$；

（2）过点C作CF⊥y轴，
∵△AOB≌△DEA，
∴同理可得出：△AOB≌△BFC，
∴OB=CF=2，BF=OA=1，
∴点C的坐标为：（2，3），
把y=3代入y=$\frac{3}{x}$，得x=1，
即：应该将正方形ABCD沿X轴向左平移2-1=1个单位长度时，点C的对应点恰好落在（1）中的双曲线上．
故答案是：1．

点评 此题属于反比例函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式的知识、全等三角形的判定与性质以及正方形的性质．此题难度较大，综合性较强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．