Question

7．试求同时满足下列两个条件的一切有序正整数（a，b）．
（1）7a-b²＞0．
（2）ab²+b+7整除7a-b²，即$\frac{a{b}^{2}+b+7}{7a-{b}^{2}}$．

Answer 1

分析 由ab²+b+7整除7a-b²，又7a-b²＞0，推出7a-b²≥ab²+b+7，由a、b是正整数，推出b²＜7，推出b=1 或2，分两种情形讨论即可．

解答 解：∵ab²+b+7整除7a-b²，又7a-b²＞0，
∴7a-b²≥ab²+b+7，∵a、b是正整数，
∴b²＜7，
∴b=1 或2，
①当b=1时，则$\frac{7a-{b}^{2}}{a{b}^{2}+b+7}$=$\frac{7a-1}{a+8}$=7-$\frac{57}{a+8}$为正整数，
∴57能被a+8整除，
∴a+8=19或57，
∴a=11或49，
∴（a，b）=（11，1）或（49，1）；
②当b=2时，则$\frac{7a-{b}^{2}}{a{b}^{2}+b+7}$=$\frac{7a-4}{4a+9}$=$\frac{7}{4}$-$\frac{79}{4（4a+9）}$为正整数，
∵$\frac{7}{4}$＜2，∴$\frac{7a-4}{4a+9}$＜2，
∴$\frac{7a-4}{4a+9}$=1，解得a=$\frac{13}{3}$，不合题意．
综上所述，满足条件的（a，b）=（11，1）或（49，1）；

点评 本题考查因式分解的应用、整除问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于创新题目．