Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以点C为圆心作弧，分别交AC、CB的延长线于点D、F，连结DF，交AB于点E，已知S_△BEF=9，S_△CDF=40，tan∠DFC=2，则BC=

 

，S_△ABC=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,解直角三角形

专题：

分析：由在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠DFC=2，可得BE=2BF，又由S_△BEF=9，即可求得BF与BE的长，然后过点C作CH⊥DF于点H，设DH=h，可求得h的值，继而由勾股定理求得BC的长；
首先过点D作DM⊥BC于点M，利用三角形的面积求得DM的长，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AB的长，继而求得答案．

解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠DFC=2，
∴

BE

BF

=2，
即BE=2BF，
∵S_△BEF=9，
∴

1

2

BF•BE=9，
∴BF=3，BE=6，
过点C作CH⊥DF于点H，设DH=h，
∵CD=CF，
∴DH=FH，
∵tan∠DFC=2，CD=CF，
∴CH：FH=2，
∴DF=2h，
∵S_△CDF=40，
∴

1

2

DF•h=

1

2

h²=40，
解得：h=2

5

，
∴DF=4

5

，
∴FC=

(2 5 )2+(4 5 )2

 =10，
∴BC=10-3=7．

过点D作DM⊥BC于点M，
∵S_△CDF=

1

2

FC•DM=

1

2

DF•CH，
∴DM=

DF•CH

FC

4 5 ×4 5

10

=8，
∵tan∠DFC=

DM

FM

=2，
∴FM=4，
∴CM=FC-FM=6，
∵∠ABC=∠DMC=90°，∠ACB=∠DCM，
∴△ABC∽△DMC，
∴AB：DM=BC：MC，
即

AB

8

=

7

6

，
解得：AB=

28

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=

98

3

．
故答案为：7，

98

3

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．