Question

二次函数y=

2

3

x²的图象如图所示，点A₀位于坐标原点，点A₁，A₂，A₃，…，A_n在y轴的正半轴上，点B₁，B₂，B₃，…，B_n在二次函数位于第一象限的图象上，点C₁，C₂，C₃，…，C_n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A₀B₁A₁C₁，四边形A₁B₂A₂C₂，四边形A₂B₃A₃C₃，…，四边形A_n-1B_nA_nC_n都是菱形，∠A₀B₁A₁=∠A₁B₂A₂=∠A₂B₃A₃=…=∠A_n-1B_nA_n=60°，则A₁点的坐标为

 

，菱形A_n-1B_nA_nC_n的周长为

 

．

Answer 1

考点：菱形的性质,二次函数图象上点的坐标特征,等边三角形的判定与性质

专题：规律型

分析：由于△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，都是等边三角形，因此∠B₁A₀x=30°，可先设出△A₀B₁A₁的边长，进而可求出A₀的坐标，然后表示出B₁的坐标，代入抛物线的解析式中即可求得△A₀B₁A₁的边长，用同样的方法可求得△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…的边长，然后根据各边长的特点总结出此题的一般化规律，根据菱形的性质易求菱形A_n-1B_nA_nC_n的周长．

解答：解：∵四边形A₀B₁A₁C₁是菱形，∠A₀B₁A₁=60°，
∴△A₀B₁A₁是等边三角形．
设△A₀B₁A₁的边长为m₁，则B₁（

3 m1

2

，

1

2

m1）；
代入抛物线的解析式中得：

2

3

（

3 m1

2

）²=

1

2

m1，
解得m₁=0（舍去），m₁=1；
故△A₀B₁A₁的边长为1，
∴则A₁点的坐标为（0，1），
同理可求得△A₁B₂A₂的边长为2，
…
依此类推，等边△A_n-1B_nA_n的边长为n，
故菱形A_n-1B_nA_nC_n的周长为4n．
故答案为：（0，1）；4n．

点评：本题考查了二次函数综合题．解题时，利用了二次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点．解答此题的难点是推知等边△A_n-1B_nA_n的边长为n．