Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=8cm，AB=5cm．从初始时刻开始，动点P，Q 分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿A-B--C--E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B--C-E-D的方向运动，到点D停止，设运动时间为xs，△PAQ的面积为y cm²，（这里规定：线段是面积为0的三角形），图2直角坐标系中图象是y与x函数图象的一部分．

解答下列问题：
（1）当x=2s时，y=

 

cm²；BC=

 

cm．     
（2）当5≤x≤14时，求y与x之间的函数关系式．
（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值．

Answer 1

考点：四边形综合题,动点问题的函数图象

专题：

分析：（1）当x=2s时，AP=2，BQ=2，利用三角形的面积公式直接可以求出y的值，从图2图中可看出当y=8时，动点Q在C点，由由y=

1

2

x²求出其解．
（2）当5≤x≤14 时，求y与x之间的函数关系式．要分为三种不同的情况进行表示：当5≤x≤9时，当9＜x≤13时，当13＜x≤14时．
（3）利用相似三角形的性质，相似三角形的对应线段成比例就可以求出对应的x的值．

解答：解：（1）①∵动点P，Q 分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm/s，
∴当运动时间为xs，AP=BQ=xcm，
∵Q点在BC上时，△PAQ的面积=

1

2

AP•BQ，即y=

1

2

x²，
当x=2s时，AP=2cm，BQ=2cm，
∴y=

1

2

×2×2=2cm²
②从图2图中可看出当y=8时，动点Q在C点，由y=

1

2

x²，得出x=

16

=4cm，
∴BC=BQ=4cm．
故答案为：2，4．
（2）当5≤x≤9时，

y=S_梯形ABCQ-S_△ABP-S_△PCQ=

1

2

（5+x-4）×4-

1

2

×5（x-5）-

1

2

（9-x）（x-4），
y=

1

2

x²-7x+

65

2

，
当9＜x≤13时，

y=

1

2

x（x-9+4）（14-x），
y=

1

2

x²+

19

2

x-35，
当13＜x≤14时，

y=

1

2

×8（14-x），
y=-4x+56；
（3）设运动时间为x秒，
当PQ∥AC时，BP=5-x，BQ=x，
此时△BPQ∽△BAC，
故

BP

AB

=

BQ

BC

，即

5-x

5

=

x

4

，
解得x=

20

9

，
当PQ∥BE时，PC=9-x，QC=x-4，
此时△PCQ∽△BCE，

PC

BC

=

CQ

CE

，即 

9-x

4

=

x-4

5

，
解得x=

61

9

；
当PQ∥BE时，EP=14-x，EQ=x-9，
此时△PEQ∽△BAE，
故

EP

AB

=

EQ

AE

，即

14-x

5

=

x-9

4

，
解得x=

101

9

综上所述x的值为：x=

20

9

，

61

9

，

101

9

．

点评：本题考查了用函数关系式表示变化过程中三角形的面积，相似三角形的判定及性质，梯形的面积等多个知识点．是一道分段函数试题，难度较大．