Question

5．如图，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACD
（1）若∠A=70°，求∠P的度数；
（2）当∠A=100°和120°时，∠P的度数分别又是什么？（直接写出结果）
（3）由（1）、（2）的求解过程你可发现；当∠A的度数发生变化后，∠P与∠A的大小关系如何？写出你发现的结论，并说明理由（友情提示：三角形的内角和等于180°）

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理求出∠1+∠4的度数，根据三角形内角和定理求出∠P的度数；
（2）由（1）的方法同理可求；
（3）根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB和∠A的关系，根据角平分线的定义计算即可．

解答 解：（1）∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=110°，
∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠4=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1+∠4=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=55°，
∴∠P=180°-55°=125°；
（2）∵∠A=100°，
∴∠ABC+∠ACB=80°，
∴∠1+∠4=40°，
∴∠P=180°-40°=140°，
同理∠A=120°时，∠P=150°；
（3）90°+$\frac{1}{2}$∠A，
证明：∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠4=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1+∠4=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠P=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查的是三角形内角和定理的应用和角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．