Question

8．如图，等边△ABC的边长为6．
（1）作正△ABC的内切圆；
（2）求内切圆的半径．

Answer 1

分析 （1）分别作∠BAC、∠ABC的角平分线AE、BF，二者交于点O，以点O为圆心、OE为半径作圆O，圆O即是所求；
（2）根据等边三角形的性质以及角平分线的定义即可得出∠OBE=30°、∠OEB=90°、BE=3，再根据特殊角的三角函数值即可求出OE的长度，此题得解．

解答 解：（1）分别作∠BAC、∠ABC的角平分线AE、BF，二者交于点O，以点O为圆心、OE为半径作圆O（如图所示），圆O即是正△ABC的内切圆．
（2）∵△ABC为等边三角形，AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，
∴AE垂直平分BC，∠OBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=3，∠OEB=90°．
在Rt△OBE中，∠OBE=30°，∠OEB=90°，BE=3，
∴OE=BE•tan∠OBE=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$．
∴内切圆的半径为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的定义以及等边三角形的性质，熟练掌握三角形内心的找法是解题的关键．