Question

20．某中学开学初准备在商场购进A、B两种品牌的蓝球，已知购买一个B品牌蓝球比购买一个A品牌蓝球多花30元，购买2个A品牌篮球和3个B品牌篮球共需340元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的蓝球各需多少元？
（2）开学后学校决定再次购进A，B两种品牌蓝球共50个，恰逢商场对两种品牌蓝球的售价进行调整，A品牌蓝球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌蓝球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌蓝球的总费用不超过3260元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌蓝球？
（3）在（2）的条件下，如果购买A品牌篮球的数量不超过22个，问怎样购买总费用最低？最低费用为多少元？

Answer 1

分析 （1）设购买一个A品牌的篮球需x元，购买一个B品牌的篮球需y元，根据“购买一个B品牌蓝球比购买一个A品牌蓝球多花30元，购买2个A品牌篮球和3个B品牌篮球共需340元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设此次购买B品牌篮球m个，则购买A品牌篮球（50-m）个，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过3260元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其内的最大值即可；
（3）设购买50个篮球所需总费用为w元，根据总价=单价×购买数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

解答 解：（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，购买一个B品牌的篮球需y元，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{x+30=y}\\{2x+3y=340}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=50}\\{y=80}\end{array}\right.$．
答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元．
（2）设此次购买B品牌篮球m个，则购买A品牌篮球（50-m）个，
根据题意得：50×（1+8%）（50-m）+80×0.9m≤3260，
解得：m≤31$\frac{1}{9}$．
∵m为正整数，
∴m≤31．
答：该中学此次最多可购买31个B品牌蓝球．
（3）设购买50个篮球所需总费用为w元，
根据题意得：w=50×（1+8%）（50-m）+80×0.9m=18m+2700．
∵购买A品牌篮球的数量不超过22个，
∴50-m≤22，
∴m≥28．
又∵m≤31，
∴28≤m≤31．
∵在w=18m+2700中，k=18＞0，
∴当m=28时，w取最小值，最小值为3204．
答：当购买A品牌篮球22个、B品牌篮球28个时，总费用最低，最低费用为3204元．

点评 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用以及一次函数的最值，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过3260元，列出关于m的一元一次不等式；（3）根据总价=单价×购买数量，找出w关于m的函数关系式．