Question

17．如图，△ABC是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图，为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB、BC、CA跑步（小路的宽度不计），观测得点在点A的南偏东30°方向上，点C在点A的南偏东60°的方向上，点B在点C的北偏西75°方向上，AC间距离为400米，问：
（1）分别求BC和AB多少米？
（2）小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？（结果都保留根号）

Answer 1

分析 （1）延长AB至D点，作CD⊥AD于D，根据题意得∠BAC=30°，∠BCA=15°，利用三角形的外角的性质得到∠DBC=∠DCB=45°，然后在Rt△ADC中，求得CD=BD=200米后即可求得BC和AB的长；
（2）根据（1）求得三角形ABC的周长．

解答 解：（1）过点C作CD⊥AB交AB延长线于一点D，
根据题意得∠BAC=30°，∠BCA=15°，
故∠DBC=∠DCB=45°，
在Rt△ADC中，
∵AC=400米，∠BAC=30°，
∴CD=BD=200米，
∴BC=200$\sqrt{2}$米，AD=200$\sqrt{3}$米
∴AB=AD-BD=（200$\sqrt{3}$-200）米，

（2）三角形ABC的周长为400+200$\sqrt{2}$+（200$\sqrt{3}$-200）≈829米
小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了约829米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形模型并求解．