Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从A向B以2 cm/s的速度移动；点Q沿DA边从D向A以1 cm/s的速度移动.如果P，Q同时出发，用t(s)表示移动时间(0≤t≤6)，那么：

(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

(2)求四边形QAPC的面积，你有什么发现？

(3)当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

【解析】(1)对于任意时刻的t有：AP=2t，DQ=t，

AQ=6-t，

当AQ=AP时，△QAP为等腰直角三角形,

即6-t=2t，∴t=2，

∴当t=2时，△QAP为等腰直角三角形.

(2)在△AQC中，AQ=6-t，AQ边上的高CD=12，

∴S_△AQC=(6-t)×12=36-6t,

在△APC中，AP=2t，AP边上的高CB=6，

∴S_△APC=×2t×6=6t.

∴四边形QAPC的面积

S_{四边形QAPC}=S_△AQC+S_△APC

=36-6t+6t=36(cm²),

所以，经计算发现：点P，Q在运动的过程中，四边形QAPC的面积保持不变.

(3)根据题意，应分两种情况来研究：

①当时，△QAP∽△ABC，

则有，求得t=1.2(s).

②当时，△PAQ∽△ABC，

则有，求得t=3(s)

∴当t=1.2或3时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似.