题目内容
将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，∠A=90°， AD边与AB边重合， AB=2AD=4．将△ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度α（0°≤α≤180°），BD的延长线交直线CE于点P．（1）如图2，BD与CE的数量关系是
（2）在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求出CP的长；
（3）在此旋转过程中，求点P运动的路线长．
分析：（1）利用三角形中位线性质以及等腰直角三角形的性质得出即可；
（2）首先得出△ABD≌△ACE（SAS），进而求出四边形ADPE为正方形，即可得出CP的长；
（3）由（2）知，当α=60°时，∠PBA最大，且∠PBA=30°，此时∠AOP=60°，得出点P运动的路线是以O为圆心，OA长为半径的
+
，进而利用弧长公式求出即可．
（2）首先得出△ABD≌△ACE（SAS），进而求出四边形ADPE为正方形，即可得出CP的长；
（3）由（2）知，当α=60°时，∠PBA最大，且∠PBA=30°，此时∠AOP=60°，得出点P运动的路线是以O为圆心，OA长为半径的
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| AP |
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| PA |
解答：解：（1）BD=EC，BD⊥CE；
理由：∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，
∠A=90°， AD边与AB边重合， AB=2AD=4，
∴D，E分别是AB和AC的中点，故BD=EC=AD=AE，BD⊥CE；
故答案为：BD=EC，BD⊥CE；
（2）如图3所示：
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠1=∠2，
∴BP⊥CE，
∵AD⊥BP，∠DAE=90°，AD=AE，
∴四边形ADPE为正方形，
∴AD=PE=2，
∵∠ADB=90°，AD=2，AB=4，
∴∠ABD=30°，
∴BD=CE=2
，
∴CP=CE-PE=2
-2；
（3）如图4，取BC的中点O，连接OP、OA，
∵∠BPC=∠BAC=90°，
∴OP=OA=
BC=2
，
在此旋转过程中（0°≤α≤180°），
由（2）知，当α=60°时，
∠PBA最大，且∠PBA=30°，
此时∠AOP=60°，
∴点P运动的路线是以O为圆心，OA长为半径的
+
，
∴点P运动的路线长为：
l=
+
=2
=
×2=
π．
理由：∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，
∠A=90°， AD边与AB边重合， AB=2AD=4，
∴D，E分别是AB和AC的中点，故BD=EC=AD=AE，BD⊥CE；
故答案为：BD=EC，BD⊥CE；
（2）如图3所示：
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
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∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，∵∠1=∠2，
∴BP⊥CE，
∵AD⊥BP，∠DAE=90°，AD=AE，
∴四边形ADPE为正方形，
∴AD=PE=2，
∵∠ADB=90°，AD=2，AB=4，
∴∠ABD=30°，
∴BD=CE=2
| 3 |
∴CP=CE-PE=2
| 3 |
（3）如图4，取BC的中点O，连接OP、OA，
∵∠BPC=∠BAC=90°，
∴OP=OA=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
在此旋转过程中（0°≤α≤180°），
由（2）知，当α=60°时，
∠PBA最大，且∠PBA=30°，
此时∠AOP=60°，
∴点P运动的路线是以O为圆心，OA长为半径的
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| AP |
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| PA |
∴点P运动的路线长为：
l=
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| AP |
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| PA |
|
| AP |
60×π×2
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| 180 |
4
| ||
| 3 |
点评：此题主要考查了几何变换综合题以及弧长公式和正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出点P运动的路径是解题关键．
练习册系列答案
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在边长为1的正方形网格中，有等腰Rt△ABC和半径为2的⊙O．
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