Question

在?ABCD中，AB=1，BC=2，∠B=45°，M为AB的中点．
（1）求tan∠CMD的值；
（2）设N为CD中点，CM交BN于K，求

BK

KN

及S_△BKC的值．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,解直角三角形

专题：常规题型

分析：（1）过点M作MF⊥BC于F，交DA的延长线于E，作DG⊥MC交MC的延长线于G，
①求出ME，MF，BF的长，
②求出MC的长，
③求出?ABCD的面积，△MCD的面积，
④由△MCD的面积，求出DG的长，
⑤由勾股定理求出CG的长，
⑥求出MG的长，
⑦在Rt△MDG中，求出tan∠CMD的值．
（2）易证明△KBM≌△KNC，∴BK=BN，∴

BK

KN

=1，
S△BKC=

1

2

S△BMC=

1

8

S?ABCD=

2

8

．

解答：解：（1）过点M作MF⊥BC于F，交DA的延长线于E，作DG⊥MC交MC的延长线于G，
∵在?ABCD中，AB=1，BC=2，∠B=45°，M为AB的中点．
∴BM=AM=

1

2

，∠EAM=∠B=45°，
∴△AEM、△BFM是等腰直角三角形，
∴AE=EM=BF=MF=

2

4

，
∴DE=AD+AE=2+

2

4

，CF=2-

2

4

，
∴CM=

MF2+CF2

=

17 4 - 2

=

17-4 2

2

，
∵AE=EM=BF=MF=

2

4

，
∴EF=EM+FM=

2

2

，
∴S?ABCD=AD•EF=

2

，
∵点M是AB的中点，
∴S△MCD=\

1

2

S?ABCD=

2

2

，
∵S△MCD=

1

2

•MC•DG，
∴DG=

2 2

17-4 2

，
在Rt△CDG中，由勾股定理得：
CG=

CD2-DG2

=

2 2 -1

17-4 2

，
∴MG=MC+CG=

17-4 2

2

+

2 2 -1

17-4 2

=

15 17-4 2

2(17-4 2 )

，
在Rt△MDG中，
tan∠CMD=

DG

MG

=

4 2

15

．


（2）在?ABCD中，M为AB的中点，N为CD中点，
∴BM=CN，
∵AB∥CD，
∴∠MBK=∠CNK，∠BMK=NCK，
在△BMK和△NCK中，

∠MBK=∠CNK BM=CN ∠BMK=∠NCK

，
∴△BMK≌△NCK（ASA）
∴BK=NK，MK=CK，
∴

BK

KN

=1．
∵MK=CK，
∴S△BKC=

1

2

S_△BCM=

1

8

S?ABCD=

2

8

．

点评：此题主要考查学生对平行四边形的性质的理解及运用能力．计算太繁琐．