Question

某计算装置有一个数据入口A和一个运算结果的出口B，将自然数中的各数依次输入A口，从B口分别得到输出的数．结果表明：
①从A口输入n=1时，从B口得到a₁=

1

3

；
②当n≥2时，从A口输入n，从B口得到的结果是将前一结果a_n-1先乘以自然数中和第n-1个奇数再除以自然数中和第n+1个奇数，
试问：（1）从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？
（2）从A口输入2008时，从B口得到什么数？
（3）求：a₁+a₂+a₃…+a₂₀₀₈的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得答案；
（2）通过观察（1）中的规律即可得出答案；
（3）找出一般形式a_n=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）即可求解．

解答：解：（1）由题意知：a₂=a₁×

1

5

=

1

3

×

1

5

=

1

2×2-1

×

1

2×2+1

=

1

15

，
a₃=

1

2×3-1

×

1

2×3+1

=

1

35

；

（2）观察（1）的规律可得：a₂₀₀₈=

1

4015

×

1

4017

=

1

16128255

；

（3）找出一般形式为：a_n=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴a₁+a₂+a₃+a₂₀₀₈=

1

2

（

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…-

1

4017

）=

1

2

×

4016

4017

=

2008

4017

．

点评：本题考查了整数的奇偶性问题及数字的规律变化，难度适中，关键是找出一般形式a_n=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）．