Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）过P作PM∥AD，交AB于M．当t为何值时，四边形AMPE是平形四边形？
（2）设△PEQ的面积为y（平方厘米），求y与t之间的函数关系式，并求t为何值时，y有最大值，最大值是多少；
（3）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）当四边形AMPE是平行四边形时，PE∥AB，则应有

DE

DA

=

DP

DB

，故用t表示DE和DP后，代入上式求得t的值；
（2）过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N．由题意知，四边形CDEF是平行四边形，可证得△DEQ∽△BCD，得到

DE

BC

=

EQ

CD

，求得EQ的值，再由△PNQ∽△BMD，得到

PQ

BD

=

PN

BM

，求得PN的值，利用S_△PEQ=

1

2

EQ•PN得到y与t之间的函数关系式；
（3）易得△PDE≌△FBP，故有S_{五边形PFCDE}=S_△PDE+S_{四边形PFCD=}S_△FBP+S_{四边形PFCD}=S_△BCD，即五边形的面积不变．

解答：解：（1）如图1，当四边形AMPE是平行四边形时，PE∥AB，则

DE

DA

=

DP

DB

．
而DE=t，DP=10-t，
∴

t

6

=

10-t

10

，
∴t=

15

4

，
∴当t=

15

4

s，PE∥AB．

（2）∵线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，
∴EF平行且等于CD，
∴四边形CDEF是平行四边形．
∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC．
∵BC=BD=10，
∴△DEQ∽△BCD．
∴

DE

BC

=

EQ

CD

．

t

10

=

EQ

4

．
∴EQ=

2

5

t．
如图2，过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N，
∵BC=BD，BM⊥CD，CD=4cm，
∴CM=

1

2

CD=2cm，
∴BM=

102-22

=4

6

（cm），
∵EF∥CD，
∴∠BQF=∠BDC，∠BFQ=∠BCD，
又∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠BQF=∠BFQ，
∵ED∥BC，
∴∠DEQ=∠QFB，
又∵∠EQD=∠BQF，
∴∠DEQ=∠DQE，
∴DE=DQ，
∴ED=DQ=BP=t，
∴PQ=10-2t．
又∵△PNQ∽△BMD，
∴

PQ

BD

=

PN

BM

．
∴

10-2t

10

=

PN

4 6

．
∴PN=4

6

（1-

t

5

）．
∴S_△PEQ=

1

2

EQ•PN=

1

2

×

2

5

t×4

6

（1-

t

5

）=-

4 6

25

t²+

4 6

5

t．
当t=-

4 6 5

2×(- 4 6 25 )

=

5

2

时，y有最大值，最大值是

6

，．

（3）五边形PFCDE的面积不发生变化，理由如下：
如图3，连接PF．
∵DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，
在△PDE与△FBP中，

DE=BP ∠PDE=∠FBP PD=BF

，
∴△PDE≌△FBP（SAS）．
∴S_{五边形PFCDE}=S_△PDE+S_{四边形PFCD=}S_△FBP+S_{四边形PFCD}=S_△BCD=8

6

．
∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变．

点评：本题利用了平行线的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式求解．综合性较强，难度较大．