Question

5．如图，∠AOB=30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，求MN的长．

Answer 1

分析 设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小，此时△COD是等边三角形，设MQ=x，则PM=CM=3-x，根据勾股定理得到x，进一步求得MN的长．

解答 解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PC、PD．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=6，
∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=6．
∵∠POC=∠POD，
∴OP⊥CD，
∴OQ=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴PQ=6-3$\sqrt{3}$，
设MQ=x，则PM=CM=3-x，
∴（3-x）²-x²=（6-3$\sqrt{3}$）²，解得x=6$\sqrt{3}$-9．
则MN=2x=18$\sqrt{3}$-18．

点评 本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．