题目内容
矩形OABC的顶点A（-8，0）、C（0，6），点D是BC边上的中点，抛物线y=ax2+bx经
过A、D两点，如图所示．（1）求点D关于y轴的对称点D′的坐标及a、b的值；
（2）在y轴上取一点P，使PA+PD长度最短，求点P的坐标；
（3）将抛物线y=ax2+bx向下平移，记平移后点A的对应点为A1，点D的对应点为D1，当抛物线平移到某个位置时，恰好使得点O是y轴上到A1、D1两点距离之和OA1+OD1最短的一点，求此抛物线的解析式．
分析：（1）由矩形的性质可知B点的坐标，因为点D是BC边上的中点，所以可求出点D关于y轴对称点D′的坐标，把A点和D点的坐标代入抛物线y=ax2+bx可求出a，c的值；
（2）先设直线AD′的解析式为y=kx+n，由已知条件可求出k和n的值，再求出直线和y轴的交点坐标即可；
（3）设抛物线向下平移了m个单位，表示出点A1，点D1的点坐标，又O是y轴上到A1、D1两点距离之和OA1+OD1最短的一点，所以可求出此抛物线的解析式．
（2）先设直线AD′的解析式为y=kx+n，由已知条件可求出k和n的值，再求出直线和y轴的交点坐标即可；
（3）设抛物线向下平移了m个单位，表示出点A1，点D1的点坐标，又O是y轴上到A1、D1两点距离之和OA1+OD1最短的一点，所以可求出此抛物线的解析式．
解答：解：（1）由矩形的性质可知：B（-8，6），
∴D（-4，6）；点D关于y轴对称点D′（4，6），
将A（-8，0）、D（-4，6）代入y=ax2+bx得：
，
∴
；
（2）设直线AD′的解析式为y=kx+n，则：
∴
，
解得：
，
∴直线y=
x+4，与y轴交于点（0，4），
点P（0，4）；
（3）由于OP=4，故将抛物线向下平移4个单位时，有OA1+OD1最短；
∴y+4=-
x2-3x，
∴此时的解析式为y=-
x2-3x-4．
∴D（-4，6）；点D关于y轴对称点D′（4，6），
将A（-8，0）、D（-4，6）代入y=ax2+bx得：
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∴
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（2）设直线AD′的解析式为y=kx+n，则：
∴
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解得：
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∴直线y=
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点P（0，4）；
（3）由于OP=4，故将抛物线向下平移4个单位时，有OA1+OD1最短；
∴y+4=-
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∴此时的解析式为y=-
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点评：此题考查了二次函数与一次函数，四边形的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要认真审题．
练习册系列答案
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