Question

如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB=4，AD=8，EF=2

5

，求四边形AECF的面积．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质,矩形的性质

专题：

分析：（1）根据平行四边形性质推出AD∥BC，根据平行线分线段成比例定理求出OE=OF，推出平行四边形AFCE，根据菱形的判定推出即可；
（2）由矩形的性质得到∠B为直角，在直角三角形ABC中，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，又已知EF的长，而AC与EF为菱形AFCE的两条对角线，根据对角线乘积的一半即可求出菱形的面积．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴

AO

CO

=

EO

FO

，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO=OC，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE是菱形．

（2）在矩形ABCD中，BC=AD=8，则
在Rt△ABC中，由AB=4，BC=8，
根据勾股定理得：AC=

AB2+BC2

=

42+82

=4

5

，又EF=2

5

，
故菱形AFCE的面积S=

1

2

AC•EF=

1

2

×4

5

×2

5

=20．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，菱形的判定等知识点的运用，关键是根据题意推出OE=OF，题目比较典型，难度适中．