Question

10．如图，点A，B，C均在半径为R的圆上．
（1）若∠A=30°，R=2，如图1，求∠BOC的度数和BC的长；
（2）若∠A=60°，BC=4，如图2，求圆的半径R；
（3）若∠A=60°，AB=3，AC=4，如图3，求圆的半径R．

Answer 1

分析 （1））根据∠A=30°求出∠BOC=60°，得到△BOC是等边三角形，即可求出∠BOC的度数和BC的长；
（2）作直径BD，连接CD，根据锐角三角函数解答即可；
（3）根据锐角三角函数求出BC的长度，仿照（2）的作法解答即可．

解答 解：（1）∵∠A=30°，∴∠BOC=60°，
则△BOC是等边三角形，R=2，
∴∠BOC=60°，BC=2．
（2）如图，作直径BD，连接CD，

∠D=∠A=60°，
sin∠D=$\frac{BC}{BD}$，
BD=2$\sqrt{3}$，
R=$\sqrt{3}$．
（3）如图，作BF⊥AC于F，

∵∠A=60°，AB=3，
∴AF=$\frac{3}{2}$，BD=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
CF=AC-AF=$\frac{5}{2}$，
由勾股定理得，BC=$\sqrt{13}$，
根据（2）的解法，sin60°=$\frac{BC}{2R}$，
2R=$\sqrt{13}$÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{39}}{3}$，
R=$\frac{\sqrt{39}}{2}$．

点评 本题考查的是圆周角定理及其推论，正确找出辅助线、构造直角三角形是解题的关键，解答时，注意锐角三角函数的应用．