Question

20．在正方形ABCD中，
（1）如图1，若点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，且∠AOF=90°．求证：AE=BF．
（2）如图2，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若DC=5，CM=2，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得AB=BC、∠ABE=∠BCF=90°，由∠AOF=90°得∠BAE=∠CBF，再证△ABE≌△BCF即可得；
（2）作FH⊥AD，结合折叠性质：EF⊥AM，证∠POF=∠AOH=∠AMD=∠FEH，再证△ADM≌△FHE得EF=AM=$\sqrt{A{D}^{2}+D{M}^{2}}$．

解答 解：（1）如图1，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
∵∠AOF=90°，
∴∠BAE+∠OBA=90°，
又∵∠FBC+∠OBA=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BCF=∠ABE}\\{AB=BC}\\{∠BAE=∠FBC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（ASA）．
∴AE=BF．

（2）由折叠的性质得EF⊥AM，

过点F作FH⊥AD于H，交AM于O，
则∠ADM=∠FHE=90°，
∴∠HAO+∠AOH=90°、∠HAO+∠AMD=90°，
∴∠POF=∠AOH=∠AMD，
又∵EF⊥AM，
∴∠POF+∠OFP=90°、∠HFE+∠FEH=90°，
∴∠POF=∠FEH，
∴∠FEH=∠AMD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=FH=5，
在△ADM和△FHE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ADM=∠FHE}\\{∠AMD=∠FEH}\\{AD=FH}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△FHE（AAS），
∴EF=AM=$\sqrt{A{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{34}$．

点评 本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．