Question

20．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DCB=90°，AB=5，BC=10，tan∠ADC=2．
（1）求CD；
（2）若∠CDE=∠CBF，DE=BF，判断ECF的形状，并证明；
（3）在（2）的条件下，当∠BEC=90°时，tanEBC=$\frac{3}{4}$，求DE及sin∠EBF．

Answer 1

分析 （1）要求DC的长，过A点作AG⊥DC，垂足为G，只需求DG+CG，在直角三角形AGD中，可求DG=5，所以DC=10；
（2）由已知可证△DEC≌△BFC，得EC=CF，∠ECD=∠FCB，由∠BCE+∠ECD=90°，得∠ECF=90°，即△ECF是等腰直角三角形；
（3）在（2）的条件下，过F点作FH⊥BE，要求DE的长，只需求BF的长，在直角三角形BGF中，FG=CE=EG，由勾股定理可求．

解答 解：（1）过A点作AG⊥DC，垂足为G，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠ABC=90°，
∴四边形ABCG为矩形，
∴CG=AB=5，AG=BC=10，
∵tan∠ADG=$\frac{AG}{DG}$=2，
∴DG=5，
∴DC=DG+CG=10；

（2）△ECF是等腰直角三角形，理由如下：
∵在△DEC与△BFC中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=BF}\\{∠CDE=∠CBF}\\{DC=BC}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△BFC（SAS），
∴EC=CF，∠ECD=∠FCB，
∵∠BCE+∠ECD=90°，∠ECF=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形；

（3）过F点作FH⊥BE，
∵BE⊥EC，CF⊥CE，CE=CF，
∴四边形ECFH是正方形，
∴FH=EC=6．
∵BE：EC=4：3，∠BEC=90°，
∴BC²=BE²+EC²，
∴EC=6，BE=8，
∴BH=BE-EH=2，
∴DE=BF=$\sqrt{F{H}^{2}+B{H}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，sin∠EBF=$\frac{FH}{BF}$=$\frac{6}{2\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了四边形综合题，需要掌握全等三角形的判定，直角三角形的性质以及三角函数和勾股定理的综合运算等知识点，难度较大．