Question

14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠EAB，∠ABD是△ABC的外角，AF，BF分别平分∠EAB及∠ABD，求证：∠AFB=45°．

Answer 1

分析 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠EAB和∠ABD，再根据角平分线的定义表示出∠FAB+∠FBA，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．

解答 证明：根据三角形的外角性质，∠EAB=∠ABC+∠C，∠ABD=∠BAC+∠C，
∵AF、BF分别是∠EAB，∠ABD的平分线，
∴∠FAB+∠FBA=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠C+∠BAC+∠C）=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BAC）+∠C，
∵∠C=90°，
∴∠ABC+∠BAC=180°-90°=90°，
∴∠FAB+∠FBA=$\frac{1}{2}$×90°+90°=135°，
在△ABF中，∠AFB=180°-135°=45°．

点评 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．