Question

如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，M为AC上任意一点（不与A，C重合），过M作直线MN交BC于点N，过A，B作AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别为D、E．

（1）∠DAN，∠EBN之间的数量关系是

 

；
（2）如图②，当M在AC的延长线上时，其他条件不变，探索∠DAM，∠EBN之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图③，若∠ACB=α时，N在BC的延长线上，其他条件不变时，∠DAM∠EBN之间的数量关系是否改变？若改变，请写出∠DAM，∠EBN与α之间满足的数量关系（此题不用证明）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：探究型

分析：（1）由AD⊥MN，BE⊥MN可判断AD∥BE，根据平行线的性质得∠DAM+∠CAB+∠EBN+∠CBA=180°，再利用三角形内角和定理得到∠CAB+∠CBA=90°，于是有∠DAM+∠EBN=90°；
（2）由BE⊥MN得到∠BEN=90°，而∠ACB=90°，∠BNE=∠CNM，于是根据三角形内角和易得∠AMD=∠EBN；
（3）由AD⊥MN，BE⊥MN得到AD∥BE，根据平行线的性质得∠DAB=∠ABE，利用角度的差得到∠CAB-∠DAM=∠EBN-∠CBA，整理得∠DAM+∠EBN=∠CAB+∠CBA，再根据三角形内角和得到∠CAB+∠CBA=180°-α，所以∠DAM+∠EBN=180°-α．

解答：解：（1）如图①，∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴AD∥BE，
∴∠DAB+∠EBA=180°，
即∠DAM+∠CAB+∠EBN+∠CBA=180°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠DAM+∠EBN=90°．
故答案为∠DAM+∠EBN=90°；
（2）∠DAM与∠EBN相等．理由如下：
如图2，∵BE⊥MN，
∴∠BEN=90°，
∵∠ACB=90°，∠BNE=∠CNM，
∴∠AMD=∠EBN；
（3）改变．
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴AD∥BE，
∴∠DAB=∠ABE，
∴∠CAB-∠DAM=∠EBN-∠CBA，
即∠DAM+∠EBN=∠CAB+∠CBA，
∵∠ACB=α，
∴∠CAB+∠CBA=180°-α，
∴∠DAM+∠EBN=180°-α．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了三角形内角和定理和平行线的性质．