Question

某公司开发了一种新型的家电产品，又适逢“家电下乡”的优惠政策．现投资40万元用于该产品的广告促销，已知该产品的本地销售量y₁（万台）与本地的广告费用x（万元）之间的函数关系满足y₁=3x+25，该产品的外地销售量y₂（万台）与外地广告费用t（万元）之间的函数关系可用如图所示的抛物线和线段AB来表示．其中点A为抛物线的顶点．
（1）结合图象，求出y₂（万台）与外地广告费用t（万元）之间的函数关系式；
（2）求该产品的销售总量y（万台）与本地广告费用x（万元）之间的函数关系式；
（3）若本地安排的广告费必须在15万元以上，如何安排广告费用才能使销售总量最大？最大总量为多少？

Answer 1

考点：二次函数的应用,一次函数的应用

专题：

分析：（1）根据函数图象，可设函数解析式，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分类讨论，0≤x≤15时，函数图象是一条直线；15≤x≤40时，函数图象是抛物线；
（3）根据函数的增减性，可得答案．

解答：解：（1）由函数图象可知，
当0≤t≤25时，函数图象为抛物线的一部分，
设解析式为y=a（t-25）²+122.5，
把（0，60）代入解析式得，y₂=-0.1（t-25）²+122.5；
当25≤t≤40时，y₂=122.5；
（2）设本地广告费用为x万元，则
0≤x≤15时，y=3x+147.5；
15≤x≤40时，y=-0.1x²+6x+125=-0.1（x-30）²+215；
（3）0≤x≤15时，y=3x+147.5，
y随x的增大而增大，当x=15时，y_最大=3×15+147.5=192.5（万元），
15≤x≤40时，y=-0.1x²+6x+125=-0.1（x-30）²+215，
当x=30时，y_最大=215（万台）
综上所述：外地广告费用为10万元，本地广告费用30万元，最大总量为215万台．

点评：本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求解析式，分类讨论的思想确定函数解析式，利用函数的性质求最大值．